FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA  [SDCTIE GRACELI]   DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS ,  DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS  GRACELI. =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x
• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
• X
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

Forças estáticas e troca de partículas virtuais

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Campos de força estáticos são campos, como campos elétricos , magnéticos ou gravitacionais simples , que existem sem excitações. O método de aproximação mais comum usado pelos físicos para cálculos de espalhamento pode ser interpretado como forças estáticas decorrentes das interações entre dois corpos mediados por partículas virtuais , partículas que existem apenas por um curto período de tempo determinado pelo princípio da incerteza . ^[1] As partículas virtuais, também conhecidas como portadoras de força , são bósons , com diferentes bósons associados a cada força. ^[2]

A descrição de partículas virtuais de forças estáticas é capaz de identificar a forma espacial das forças, como o comportamento do quadrado inverso na lei da gravitação universal de Newton e na lei de Coulomb . Também é capaz de prever se as forças são atraentes ou repulsivas para corpos semelhantes.

A formulação integral do caminho é a linguagem natural para descrever os portadores de força. Este artigo usa a formulação integral do caminho para descrever os portadores de força para os campos 0, 1 e 2 de rotação . Píons , fótons e gravitons se enquadram nessas respectivas categorias.

Existem limites para a validade da imagem de partículas virtuais. A formulação de partículas virtuais é derivada de um método conhecido como teoria das perturbações, que é uma aproximação, assumindo que as interações não são muito fortes e foi planejado para problemas de espalhamento, não para estados ligados como átomos. Para a força forte que liga quarks aos núcleons com baixas energias, nunca foi demonstrado que a teoria das perturbações produza resultados de acordo com os experimentos ^[3] , portanto, a validade da imagem da "partícula mediadora de força" é questionável. Da mesma forma, para estados ligados, o método falha. ^[4]Nestes casos, a interpretação física deve ser reexaminada. Como exemplo, os cálculos da estrutura atômica na física atômica ou da estrutura molecular na química quântica não poderiam ser facilmente repetidos, se é que usavam a imagem da "partícula mediadora de força". ^{[ citação necessária ]}

O quadro "partícula mediadora de força" (FMPP) é usado porque a interação clássica de dois corpos (lei de Coulomb, por exemplo), dependendo de seis dimensões espaciais, é incompatível com a invariância de Lorentz da equação de Dirac . O uso do FMPP é desnecessário na mecânica quântica não- relativística , e a lei de Coulomb é usada como dada na física atômica e na química quântica para calcular os estados de limite e dispersão. Uma teoria quântica relativística não perturbativa, na qual a invariância de Lorentz é preservada, é possível avaliar a lei de Coulomb como uma interação de quatro espaços usando o vetor de posição de três espaços de um elétron de referência que obedece à equação de Dirac e a trajetória quântica de um segundo elétron que depende apenas do tempo escalado. A trajetória quântica de cada elétron em um conjunto é inferida a partir da corrente de Dirac para cada elétron, definindo-a igual a um campo de velocidade vezes uma densidade quântica, calculando um campo de posição a partir da integral de tempo do campo de velocidade e, finalmente, calculando uma trajetória quântica do valor esperado do campo de posição. As trajetórias quânticas são, naturalmente, dependentes da rotação, e a teoria pode ser validada verificando se o Princípio de Exclusão de Pauli é obedecido para uma coleção de férmions.

Forças clássicas [ editar ]

A força exercida por uma massa sobre outra e a força exercida por uma carga sobre outra são surpreendentemente semelhantes. Ambos caem como o quadrado da distância entre os corpos. Ambos são proporcionais ao produto das propriedades dos corpos, massa no caso de gravitação e carga no caso de eletrostática.

Eles também têm uma diferença marcante. Duas massas se atraem, enquanto duas cargas iguais se repelem.

Nos dois casos, os corpos parecem agir um sobre o outro à distância. O conceito de campo foi inventado para mediar a interação entre os corpos, eliminando assim a necessidade de ação à distância . A força gravitacional é mediada pelo campo gravitacional e a força de Coulomb é mediada pelo campo eletromagnético .

Força gravitacional [ editar ]

A força gravitacional em uma massa$${\ displaystyle m} exercido por outra massa $${\ displaystyle M} é

$${\ displaystyle \ mathbf {F} = -G {mM \ over {r} ^ {2}} \, \ mathbf {\ hat {r}} = m \ mathbf {g} \ left (\ mathbf {r} \ direita),}

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onde G é a constante gravitacional , r é a distância entre as massas e$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}}é o vetor unitário da massa$${\ displaystyle M} para massa $${\ displaystyle m}.

A força também pode ser escrita

$${\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {g} \ left (\ mathbf {r} \ right),}

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Onde $${\ displaystyle \ mathbf {g} \ left (\ mathbf {r} \ right)}é o campo gravitacional descrito pela equação de campo

$${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho _ {m},}

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Onde $${\ displaystyle \ rho _ {m}}é a densidade de massa em cada ponto do espaço.

Força Coulomb [ editar ]

A força eletrostática de Coulomb em uma carga$${\ displaystyle q} exercido por uma cobrança $${\ displaystyle Q}é ( unidades SI )

$${\ displaystyle \ mathbf {F} = {1 \ over 4 \ pi \ varepsilon _ {0}} {qQ \ over r ^ {2}} \ mathbf {\ hat {r}}}

x

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Onde $${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}é a permissividade do vácuo ,$${\ displaystyle r} é a separação das duas cargas, e $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}}é um vetor de unidade na direção da carga$${\ displaystyle Q} carregar $${\ displaystyle q}.

A força de Coulomb também pode ser escrita em termos de um campo eletrostático :

$${\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {E} \ esquerda (\ mathbf {r} \ right),}

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Onde

$${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho _ {q}} {\ varepsilon _ {0}}};}

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$${\ displaystyle \ rho _ {q}}sendo a densidade de carga em cada ponto do espaço.

Troca virtual de partículas [ editar ]

Na teoria das perturbações, as forças são geradas pela troca de partículas virtuais . A mecânica da troca virtual de partículas é melhor descrita com a formulação integral do caminho da mecânica quântica. Existem insights que podem ser obtidos, no entanto, sem entrar no mecanismo das integrais do caminho, como por que as forças gravitacionais e eletrostáticas clássicas caem como o quadrado inverso da distância entre os corpos.

Formulação integral de caminho para troca virtual de partículas [ editar ]

Uma partícula virtual é criada por uma perturbação no estado de vácuo , e a partícula virtual é destruída quando é absorvida de volta ao estado de vácuo por outra perturbação. Imagina-se que os distúrbios se devam a corpos que interagem com o campo virtual de partículas.

A amplitude de probabilidade [ editar ]

Usando unidades naturais ,$${\ displaystyle \ hbar = c = 1}, é dada a amplitude de probabilidade para a criação, propagação e destruição de uma partícula virtual, no caminho da formulação integral por

$${\ displaystyle Z \ equiv \ langle 0 | \ exp \ left (-i {\ hat {H}} T \ right) | 0 \ rangle = \ exp \ left (-iET \ right) = \ int D \ varphi \ ; \ exp \ left (i {\ mathcal {S}} [\ varphi] \ right) \; = \ exp \ left (iW \ right)}

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Onde $${\ displaystyle {\ hat {H}}}é o operador Hamiltoniano ,$${\ displaystyle T} é o tempo decorrido, $${\ displaystyle E} é a mudança de energia devido à perturbação, $${\ displaystyle W = -ET} é a mudança de ação devido à perturbação, $${\ displaystyle \ varphi}é o campo da partícula virtual, a integral está em todos os caminhos e a ação clássica é dada por

$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ varphi] = \ int \ mathrm {d} ^ {4} x \; {{\ mathcal {L}} [\ varphi (x)] \,}}

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Onde $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi (x)]}é a densidade lagrangiana .

Aqui, a métrica espaço - tempo é dada por

{\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \ 0 \ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}}.}

Muitas vezes, a integral do caminho pode ser convertida para o formulário

$${\ displaystyle Z = \ int \ exp \ left [i \ int d ^ {4} x \ left ({\ frac {1} {2}} \ varphi {\ hat {O}} \ varphi + J \ varphi \ direita) \ direita] D \ varphi}

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Onde $${\ displaystyle {\ hat {O}}} é um operador diferencial com $${\ displaystyle \ varphi} e $${\ displaystyle J}funções do espaço-tempo . O primeiro termo no argumento representa a partícula livre e o segundo termo representa a perturbação no campo de uma fonte externa, como uma carga ou uma massa.

A integral pode ser escrita (consulte Integrais comuns na teoria quântica de campos )

$${\ displaystyle Z \ propto \ exp \ left (iW \ left (J \ right) \ right)}

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Onde

$${\ displaystyle W \ left (J \ right) = - {1 \ over 2} \ iint d ^ {4} x \; d ^ {4} y \; J \ left (x \ right) D \ left (xy \ direita) J \ esquerda (y \ direita)}

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é a mudança na ação devido aos distúrbios e ao propagador $${\ displaystyle D \ esquerda (xy \ direita)} é a solução de

$${\ displaystyle {\ hat {O}} D \ esquerda (xy \ direita) = \ delta ^ {4} \ esquerda (xy \ direita)}.

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Energia de interação [ editar ]

Assumimos que existem dois distúrbios pontuais representando dois corpos e que os distúrbios são imóveis e constantes no tempo. Os distúrbios podem ser escritos

$${\ displaystyle J \ esquerda (x \ direita) = \ esquerda (J_ {1} + J_ {2}, 0,0,0 \ direita)}

$${\ displaystyle J_ {1} = a_ {1} \ delta ^ {3} \ left ({\ vec {x}} - {\ vec {x}} _ {1} \ right)}

$${\ displaystyle J_ {2} = a_ {2} \ delta ^ {3} \ left ({\ vec {x}} - {\ vec {x}} _ {2} \ right)}

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onde as funções delta estão no espaço, as perturbações estão localizadas em $${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {1}} e $${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {2}}e os coeficientes $${\ displaystyle a_ {1}} e $${\ displaystyle a_ {2}} são os pontos fortes dos distúrbios.

Se negligenciarmos as interações dos distúrbios, W se tornará

$${\ displaystyle W \ left (J \ right) = - \ iint d ^ {4} x \; d ^ {4} y \; J_ {1} \ left (x \ right) {1 \ mais de 2} \ left [D \ esquerda (xy \ direita) + D \ esquerda (yx \ direita) \ direita] J_ {2} \ esquerda (y \ direita)},

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que pode ser escrito

$${\ displaystyle W \ left (J \ right) = - Ta_ {1} a_ {2} \ int {d ^ {3} k \ over (2 \ pi) ^ {3}} \; \; D \ left ( k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; \ exp \ left (i {\ vec {k}} \ cdot \ left ({\ vec {x}} _ {1} - {\ vec {x}} _ {2} \ direita) \ direita)}.

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Aqui $${\ displaystyle D \ esquerda (k \ direita)} é a transformada de Fourier de

$${\ displaystyle {1 \ over 2} \ left [D \ left (xy \ right) + D \ left (yx \ right) \ right]}.

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Finalmente, a mudança de energia devido às perturbações estáticas do vácuo é

$${\ displaystyle E = - {W \ over T} = a_ {1} a_ {2} \ int {d ^ {3} k \ over (2 \ pi) ^ {3}} \; \; D \ left ( k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; \ exp \ left (i {\ vec {k}} \ cdot \ left ({\ vec {x}} _ {1} - {\ vec {x}} _ {2} \ direita) \ direita)}.

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Se essa quantidade é negativa, a força é atraente. Se for positivo, a força é repulsiva.

Exemplos de correntes estáticas, imóveis e que interagem são o potencial Yukawa , o potencial de Coulomb no vácuo e o potencial de Coulomb em um plasma simples ou gás elétron .

A expressão para a energia de interação pode ser generalizada para a situação na qual as partículas pontuais estão se movendo, mas o movimento é lento comparado à velocidade da luz. Exemplos são a interação de Darwin no vácuo e a interação de Darwin no plasma .

Finalmente, a expressão para a energia de interação pode ser generalizada para situações em que os distúrbios não são partículas pontuais, mas possivelmente cargas de linha, tubos de carga ou vórtices de corrente. Exemplos são duas cargas de linha embutidas em um gás de plasma ou elétron , potencial de Coulomb entre dois circuitos de corrente incorporados em um campo magnético e interação magnética entre circuitos de corrente em um plasma ou gás eletrônico simples . Como visto no exemplo da interação Coulomb entre tubos de carga, mostrada abaixo, essas geometrias mais complicadas podem levar a fenômenos exóticos, como números quânticos fracionários .

Exemplos selecionados [ editar ]

O potencial de Yukawa: A força entre dois núcleos em um núcleo atômico [ editar ]

Considere a densidade Lagrangiana de spin -0 ^[5]

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi (x)] = {1 \ over 2} \ left [\ left (\ parcial \ varphi \ right) ^ {2} -m ^ {2} \ varphi ^ {2} \ right]}.

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A equação de movimento para este Lagrangiano é a equação de Klein-Gordon

$${\ displaystyle \ parcial ^ {2} \ varphi + m ^ {2} \ varphi = 0}.

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Se adicionarmos um distúrbio, a amplitude de probabilidade se torna

$${\ displaystyle Z = \ int D \ varphi \; \ exp \ left \ {i \ int d ^ {4} x \; \ left [{1 \ over 2} \ left (\ left (\ parcial \ varphi \ right ) ^ {2} -m ^ {2} \ varphi ^ {2} \ right) + J \ varphi \ right] \ right \}}.

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Se integrarmos por partes e negligenciarmos os limites no infinito, a amplitude de probabilidade se tornará

$${\ displaystyle Z = \ int D \ varphi \; \ exp \ left \ {i \ int d ^ {4} x \; \ left [- {1 \ over 2} \ varphi \ left (\ parcial ^ {2} + m ^ {2} \ direita) \ varphi + J \ varphi \ direita] \ direita \}}.

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Com a amplitude desta forma, pode-se ver que o propagador é a solução de

$${\ displaystyle - \ left (\ parcial ^ {2} + m ^ {2} \ right) D \ left (xy \ right) = \ delta ^ {4} \ left (xy \ right)}.

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A partir disso, pode-se ver que

$${\ displaystyle D \ esquerda (k \ direita) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; - {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + m ^ {2}} }.

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A energia devido a distúrbios estáticos se torna (consulte Integrais comuns na teoria quântica de campos )

$${\ displaystyle E = - {a_ {1} a_ {2} \ mais de 4 \ pi r} \ exp \ left (-mr \ right)}

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com

$${\ displaystyle r ^ {2} = \ left ({\ vec {x}} _ {1} - {\ vec {x}} _ {2} \ right) ^ {2}}

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que é atraente e tem uma variedade de

$${\ displaystyle {1 \ over m}}.

Yukawa propôs que este campo descreva a força entre dois núcleons em um núcleo atômico. Isso lhe permitiu prever o alcance e a massa da partícula, agora conhecida como pion , associada a esse campo.

Eletrostática [ editar ]

O potencial de Coulomb no vácuo [ editar ]

Considere o spin -1 Proca Lagrangiano com um distúrbio ^[6]

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi (x)] = - {1 \ over 4} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} + {1 \ over 2} m ^ { 2} A _ {\ mu} A ^ {\ mu} + A _ {\ mu} J ^ {\ mu}}

x

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Onde

$${\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} = \ parcial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ parcial _ {\ nu} A _ {\ mu}},

x

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carga é conservada

$${\ displaystyle \ parcial _ {\ mu} J ^ {\ mu} = 0},

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e escolhemos o medidor Lorenz

$${\ displaystyle \ parcial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0}.

Além disso, assumimos que existe apenas um componente temporal $${\ displaystyle J ^ {0}}ao distúrbio. Em linguagem comum, isso significa que há uma carga nos pontos de perturbação, mas não há correntes elétricas.

Se seguirmos o mesmo procedimento que fizemos com o potencial Yukawa, descobrimos que

$${\ displaystyle - {1 \ over 4} \ int d ^ {4} xF _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} = - {1 \ over 4} \ int d ^ {4} x \ left (\ parcial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ parcial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ direita) \ esquerda (\ parcial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ parcial ^ { \ nu} A ^ {\ mu} \ direita)}

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$${\ displaystyle = {1 \ over 2} \ int d ^ {4} x \; A _ {\ nu} \ esquerda (\ parcial ^ {2} A ^ {\ nu} - \ parcial ^ {\ nu} \ parcial _ {\ mu} A ^ {\ mu} \ right) = {1 \ over 2} \ int d ^ {4} x \; A ^ {\ mu} \ left (\ eta _ {\ mu \ nu} \ parcial ^ {2} \ right) A ^ {\ nu},}

x

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que implica

$${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ alpha} \ left (\ parcial ^ {2} + m ^ {2} \ right) D ^ {\ alpha \ nu} \ left (xy \ right) = \ delta _ { \ mu} ^ {\ nu} \ delta ^ {4} \ esquerda (xy \ direita)}

x

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e

$${\ displaystyle D _ {\ mu \ nu} \ esquerda (k \ direita) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; \ eta _ {\ mu \ nu} {1 \ over -k ^ { 2} + m ^ {2}}.}

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Isso gera

$${\ displaystyle D \ esquerda (k \ direita) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + m ^ {2}}}

x

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para o propagador timelike e

$${\ displaystyle E = + {a_ {1} a_ {2} \ mais de 4 \ pi r} \ exp \ left (-mr \ right)}

x

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que tem o sinal oposto ao caso Yukawa.

No limite da massa zero de fótons , o Lagrangiano reduz ao Lagrangiano por eletromagnetismo

$${\ displaystyle E = {a_ {1} a_ {2} \ mais de 4 \ pi r}.}

x

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Portanto, a energia se reduz à energia potencial para a força de Coulomb e os coeficientes $${\ displaystyle a_ {1}} e $${\ displaystyle a_ {2}}são proporcionais à carga elétrica. Diferentemente do caso Yukawa, como corpos, nesse caso eletrostático, se repelem.

Potencial de Coulomb em um gás simples de plasma ou elétron [ editar ]

Ondas de plasma [ editar ]

A relação de dispersão para as ondas plasmáticas é ^[7]

$${\ displaystyle \ omega ^ {2} = \ omega _ {p} ^ {2} + \ gamma \ left (\ omega \ right) {T_ {e} \ over m} {\ vec {k}} ^ {2 }.}

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Onde $${\ displaystyle \ omega} é a frequência angular da onda,

$${\ displaystyle \ omega _ {p} ^ {2} = {4 \ pi ne ^ {2} \ over m}}

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é a frequência plasmática ,$${\ displaystyle e}é a magnitude da carga eletrônica ,$${\ displaystyle m}é a massa de elétrons ,$${\ displaystyle T_ {e}}é a temperatura do elétron ( constante de Boltzmann igual a um) e$${\ displaystyle \ gamma \ left (\ omega \ right)}é um fator que varia com a frequência de um a três. Em altas frequências, na ordem da freqüência do plasma, a compressão do fluido eletrônico é um processo adiabático e$${\ displaystyle \ gamma \ left (\ omega \ right)}é igual a três. Em baixas frequências, a compressão é um processo isotérmico e$${\ displaystyle \ gamma \ left (\ omega \ right)}é igual a um. Os efeitos de retardamento foram negligenciados na obtenção da relação de dispersão das ondas de plasma.

Para frequências baixas, a relação de dispersão torna-se

$${\ displaystyle {\ vec {k}} ^ {2} + {\ vec {k}} _ {D} ^ {2} = 0}

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Onde

$${\ displaystyle k_ {D} ^ {2} = {4 \ pi ne ^ {2} \ sobre T_ {e}}}

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é o número de Debye, que é o inverso do comprimento de Debye . Isso sugere que o propagador é

$${\ displaystyle D \ esquerda (k \ direita) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + k_ {D} ^ {2 }}}.

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De fato, se os efeitos do retardo não são negligenciados, a relação de dispersão é

$${\ displaystyle -k_ {0} ^ {2} + {\ vec {k}} ^ {2} + k_ {D} ^ {2} - {m \ sobre T_ {e}} k_ {0} ^ {2 } = 0,}

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o que realmente produz o propagador adivinhado. Este propagador é o mesmo que o massivo propagador Coulomb, com a massa igual ao comprimento inverso de Debye. A energia de interação é, portanto,

$${\ displaystyle E = {a_ {1} a_ {2} \ mais de 4 \ pi r} \ exp \ left (-k_ {D} r \ right).}

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O potencial Coulomb é rastreado em escalas de comprimento de Debye.

Plasmons [ editar ]

Em um gás quântico de elétrons , as ondas de plasma são conhecidas como plasmons . O rastreio de Debye é substituído pelo rastreio de Thomas – Fermi para produzir ^[8]

$${\ displaystyle E = {a_ {1} a_ {2} \ mais de 4 \ pi r} \ exp \ left (-k_ {s} r \ right)}

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onde o inverso do comprimento da triagem Thomas – Fermi é

$${\ displaystyle k_ {s} ^ {2} = {6 \ pi ne ^ {2} \ over \ epsilon _ {F}}}

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e $${\ displaystyle \ epsilon _ {F}}é a energia Fermi

$${\ displaystyle \ epsilon _ {F} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left ({3 \ pi ^ {2} n} \ right) ^ {2/3} \,. }

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Essa expressão pode ser derivada do potencial químico de um gás de elétron e da equação de Poisson . O potencial químico de um gás de elétron próximo ao equilíbrio é constante e dado por

$${\ displaystyle \ mu = -e \ varphi + \ epsilon _ {F}}

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Onde $${\ displaystyle \ varphi}é o potencial elétrico . Linearizar a energia de Fermi até a primeira ordem na flutuação da densidade e combinar com a equação de Poisson produz o comprimento da triagem. O transportador de força é a versão quântica da onda plasmática .

Cargas de duas linhas embutidas em um plasma ou gás elétron [ editar ]

Consideramos uma linha de carga com eixo na direção z embutida em um gás de elétrons

$${\ displaystyle J_ {1} \ left (x \ right) = {a_ {1} \ over L_ {B}} {1 \ over 2 \ pi r} \ delta ^ {2} \ left (r \ right)}

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Onde $${\ displaystyle r} é a distância no plano xy da linha de carga, $${\ displaystyle L_ {B}}é a largura do material na direção z. O sobrescrito 2 indica que a função delta Dirac está em duas dimensões. O propagador é

$${\ displaystyle D \ esquerda (k \ direita) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + k_ {Ds} ^ {2 }}}

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Onde $${\ displaystyle k_ {Ds}}é o comprimento de triagem inverso de Debye-Hückel ou o comprimento de triagem inverso Thomas-Fermi .

A energia de interação é

$${\ displaystyle E = \ left ({a_ {1} \, a_ {2} \ over 2 \ pi L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \ ;} \ over k ^ {2} + k_ {Ds} ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {12} \ right) = \ left ({a_ {1} \ , a_ {2} \ mais de 2 \ pi L_ {B}} \ direita) K_ {0} \ esquerda (k_ {Ds} r_ {12} \ direita)}

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Onde

$${\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {n} \ esquerda (x \ direita)}

e

$${\ displaystyle K_ {0} \ esquerda (x \ direita)}

são funções de Bessel e$${\ displaystyle r_ {12}}é a distância entre as duas cargas de linha. Na obtenção da energia de interação, usamos as integrais (consulte Integrais comuns na teoria quântica de campos )

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {d \ varphi \ over 2 \ pi} \ exp \ left (ip \ cos \ left (\ varphi \ right) \ right) = {\ mathcal {J }} _ {0} \ esquerda (p \ direita)}

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e

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ over k ^ {2} + m ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr \ direita) = K_ {0} \ esquerda (mr \ direita).}

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Para $${\ displaystyle k_ {Ds} r_ {12} \ ll 1}, temos

$${\ displaystyle K_ {0} \ left (k_ {Ds} r_ {12} \ right) \ rightarrow - \ ln \ left ({k_ {Ds} r_ {12} \ mais de 2} \ right) +0,5772.}

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Potencial de Coulomb entre dois loops de corrente incorporados em um campo magnético [ editar ]

Energia de interação de vórtices [ editar ]

Consideramos uma densidade de carga no tubo com o eixo ao longo de um campo magnético incorporado em um gás de elétron

$${\ displaystyle J_ {1} \ left (x \ right) = {a_ {1} \ over L_ {b}} {1 \ over 2 \ pi r} \ delta ^ {2} \ left (r-r_ {B1 }\direita)}

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Onde $${\ displaystyle r}é a distância do centro de orientação ,$${\ displaystyle L_ {B}} é a largura do material na direção do campo magnético

$${\ displaystyle r_ {B1} = {{\ sqrt {4 \ pi}} m_ {1} v_ {1} \ over a_ {1} B} = {\ sqrt {2 \ hbar \ over m_ {1} \ omega _ {c}}}}

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onde a frequência do ciclotrão é ( unidades gaussianas )

$${\ displaystyle \ omega _ {c} = {a_ {1} B \ over {\ sqrt {4 \ pi}} m_ {1} c}}

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e

$${\ displaystyle v_ {1} = {\ sqrt {2 \ hbar \ omega _ {c} \ over m_ {1}}}}

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é a velocidade da partícula em torno do campo magnético e B é a magnitude do campo magnético. A fórmula da velocidade vem do ajuste da energia cinética clássica igual ao espaçamento entre os níveis de Landau no tratamento quântico de uma partícula carregada em um campo magnético.

Nesta geometria, a energia de interação pode ser escrita

$${\ displaystyle E = \ left ({a_ {1} \, a_ {2} \ over 2 \ pi L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {k \; dk \; } D \ esquerda (k \ direita) \ mid _ {k_ {0} = k_ {B} = 0} {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {B1} \ right) {\ mathcal { J}} _ {0} \ esquerda (kr_ {B2} \ direita) {\ mathcal {J}} _ {0} \ esquerda (kr_ {12} \ direita)}

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Onde $${\ displaystyle r_ {12}} é a distância entre os centros dos circuitos atuais e

$${\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {n} \ esquerda (x \ direita)}

é uma função de Bessel do primeiro tipo. Na obtenção da energia de interação, utilizamos a integral

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {d \ varphi \ over 2 \ pi} \ exp \ left (ip \ cos \ left (\ varphi \ right) \ right) = {\ mathcal {J }} {{0} \ left (p \ right).}

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Campo elétrico devido a uma perturbação de densidade [ editar ]

O potencial químico próximo ao equilíbrio é dado por

$${\ displaystyle \ mu = -e \ varphi + N \ hbar \ omega _ {c} = N_ {0} \ hbar \ omega _ {c}}

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Onde $${\ displaystyle -e \ varphi}é a energia potencial de um elétron em um potencial elétrico e$${\ displaystyle N_ {0}} e $${\ displaystyle N} são o número de partículas no gás elétron na ausência e na presença de um potencial eletrostático, respectivamente.

A flutuação da densidade é então

$${\ displaystyle \ delta n = {e \ varphi \ over \ hbar \ omega _ {c} A_ {M} L_ {B}}}

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Onde $${\ displaystyle A_ {M}} é a área do material no plano perpendicular ao campo magnético.

A equação de Poisson produz

$${\ displaystyle \ left (k ^ {2} + k_ {B} ^ {2} \ right) \ varphi = 0}

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Onde

$${\ displaystyle k_ {B} ^ {2} = {4 \ pi e ^ {2} \ over \ hbar \ omega _ {c} A_ {M} L_ {B}}.}

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O propagador é então

$${\ displaystyle D \ esquerda (k \ direita) \ mid _ {k_ {0} = k_ {B} = 0} = {1 \ over k ^ {2} + k_ {B} ^ {2}}}

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e a energia da interação se torna

$${\ displaystyle E = \ left ({a_ {1} \, a_ {2} \ over 2 \ pi L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \ ;} \ over k ^ {2} + k_ {B} ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {B1} \ right) {\ mathcal {J}} _ {0 } \ left (kr_ {B2} \ right) {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {12} \ right) = \ left ({2e ^ {2} \ sobre L_ {B}} \ direita) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ sobre k ^ {2} + k_ {B} ^ {2} r_ {B} ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {0} ^ {2} \ left (k \ right) {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (k {r_ {12} \ over r_ {B}} \ right)}

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onde na segunda igualdade ( unidades gaussianas ) assumimos que os vórtices tinham a mesma energia e a carga de elétrons.

Em analogia com os plasmons , o transportador de força é a versão quântica da oscilação híbrida superior, que é uma onda plasmática longitudinal que se propaga perpendicularmente ao campo magnético.

Correntes com momento angular [ editar ]

Correntes de função delta [ editar ]

Figura 1. Energia de interação vs. r para estados de momento angular de valor um. As curvas são idênticas a esses para quaisquer valores de$${\ displaystyle {\ mathit {l}} = {{\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}. Comprimentos estão em unidades estão em$${\ displaystyle r _ {\ mathit {l}}}, e a energia está em unidades de $${\ displaystyle \ left ({e ^ {2} \ over L_ {B}} \ right)}. Aqui$${\ displaystyle r = r_ {12}}. Observe que existem mínimos locais para grandes valores de$${\ displaystyle k_ {B}}.

Figura 2. Energia de interação vs. r para estados de momento angular de valor um e cinco.

Figura 3. Energia de interação vs. r para vários valores de teta. A energia mais baixa é para$${\ displaystyle \ theta = {\ pi \ acima de 4}} ou $${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {\ prime}} = 1}. A maior energia plotada é para$${\ displaystyle \ theta = 0,90 {\ pi \ acima de 4}}. Os comprimentos estão em unidades de$${\ displaystyle r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}.

Figura 4. Energias do estado fundamental para valores pares e ímpares de momento angular. A energia é plotada no eixo vertical er é plotada na horizontal. Quando o momento angular total é regular, o mínimo de energia ocorre quando$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} = {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}} ou $${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {1 \ over 2}}. Quando o momento angular total é ímpar, não há valores inteiros de momento angular que se situem no mínimo de energia. Portanto, existem dois estados situados em ambos os lados do mínimo. Porque$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ neq {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}, a energia total é maior do que o caso quando $${\ displaystyle {{\ mathit {l}} = {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}} para um determinado valor de $${\ displaystyle {{\ mathit {l}} ^ {*}}}.

Diferentemente das correntes clássicas, os loops de corrente quântica podem ter vários valores do raio de Larmor para uma determinada energia. ^{[9] Os} níveis de Landau , os estados de energia de uma partícula carregada na presença de um campo magnético, são multiplicados por degeneração . Os loops de corrente correspondem aos estados de momento angular da partícula carregada que podem ter a mesma energia. Especificamente, a densidade de carga é atingida em torno de raios de

$${\ displaystyle r _ {\ mathit {l}} = {\ sqrt {\ mathit {l}}} \; r_ {B} \; \; \; \; {\ mathit {l}} = 0,1,2, \ ldots}

Onde $${\ displaystyle {\ mathit {l}}}é o número quântico do momento angular . Quando$${\ displaystyle {\ mathit {l}} = 1}recuperamos a situação clássica em que o elétron orbita o campo magnético no raio de Larmor . Se correntes de dois momentos angulares{\ displaystyle {\ mathit {l}} _ {} ^ {}> 0} e $${\ displaystyle {\ mathit {l}} ^ {\ prime} \ geq {\ mathit {l}} _ {} ^ {}} interagir, e assumimos que as densidades de carga são funções delta no raio $${\ displaystyle r _ {\ mathit {l}}}, então a energia de interação é

$${\ displaystyle E = \ left ({2e ^ {2} \ over L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ over k ^ {2 } + k_ {B} ^ {2} r _ {\ mathit {l}} ^ {2}} \; {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (k \ right) \; {\ mathcal {J }} _ {0} \ left ({\ sqrt {{{\ mathit {l}} ^ {\ prime}} \ over {\ mathit {l}}}} \; k \ right) \; {\ mathcal { J}} _ {0} \ left (k {r_ {12} \ over r _ {\ mathit {l}}} \ right).}

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A energia de interação para $${\ displaystyle {\ mathit {l}} = {\ mathit {l}} ^ {\ prime}} é apresentado na Figura 1 para vários valores de $${\ displaystyle k_ {B} r _ {\ mathit {l}}}. A energia para dois valores diferentes é dada na Figura 2.

Quasipartículas [ editar ]

Para grandes valores de momento angular, a energia pode ter mínimos locais a distâncias diferentes de zero e infinito. Pode-se verificar numericamente que os mínimos ocorrem em

$${\ displaystyle r_ {12} = r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}} = {\ sqrt {{\ mathit {l}} + {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}} \; r_ {B}.}

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Isso sugere que o par de partículas que são ligadas e separadas por uma distância $${\ displaystyle r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}agir como uma quase partícula com momento angular$${\ displaystyle {\ mathit {l}} + {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}.

Se escalarmos os comprimentos como $${\ displaystyle r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}, então a energia da interação se torna

$${\ displaystyle E = \ left ({2e ^ {2} \ over L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ over k ^ {2 } + k_ {B} ^ {2} r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}} ^ {2}} \; {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (\ cos \ theta \; k \ right) \; {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (\ sin \ theta \; k \ right) \; {\ mathcal {J}} _ { 0} \ left (k {r_ {12} \ over r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}} \ right)}

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Onde

$${\ displaystyle \ tan \ theta = {\ sqrt {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}.}

O valor do $${\ displaystyle r_ {12}} em que a energia é mínima, $${\ displaystyle r_ {12} = r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}, é independente da proporção $${\ displaystyle \ tan \ theta = {\ sqrt {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}}. No entanto, o valor da energia no mínimo depende da proporção. O menor valor mínimo de energia ocorre quando

$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {\ prime}} = 1.}

Quando a razão difere de 1, o mínimo de energia é maior (Figura 3). Portanto, para valores pares de momento total, a menor energia ocorre quando (Figura 4)

$${\ displaystyle {\ mathit {l}} = {\ mathit {l}} ^ {\ prime} = 1}

ou

$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {1 \ over 2}}

onde o momento angular total é escrito como

$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} ^ {*}} = {\ mathit {l}} + {{\ mathit {l}} ^ {\ prime}}.}

Quando o momento angular total é ímpar, os mínimos não podem ocorrer por $${\ displaystyle {{\ mathit {l}} = {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}.} Os estados de energia mais baixos para um momento angular total estranho ocorrem quando

$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = \; {{\ mathit {l}} ^ {*} \ pm 1 \ over 2 {\ mathit { l}} ^ {*}}}

ou

$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {1 \ over 3}, {2 \ over 5}, {3 \ over 7}, {\ mbox {etc.}}}

e

$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {2 \ over 3}, {3 \ over 5}, {4 \ over 7}, {\ mbox {etc.}}}

que também aparecem como séries para o fator de preenchimento no efeito Hall quântico fracionário .

Densidade de carga espalhada por uma função de onda [ editar ]

A densidade de carga não está realmente concentrada em uma função delta. A carga é distribuída por uma função de onda. Nesse caso, a densidade eletrônica é ^[10]

$${\ displaystyle {1 \ over \ pi r_ {B} ^ {2} L_ {B}} {1 \ over n!} \ left ({r \ over r_ {B}} \ right) ^ {2 {\ mathit {l}}} \ exp \ left (- {r ^ {2} \ over r_ {B} ^ {2}} \ right).}

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A energia da interação se torna

$${\ displaystyle E = \ left ({2e ^ {2} \ over L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ over k ^ {2 } + k_ {B} ^ {2} r_ {B} ^ {2}} \; M \ left ({\ mathit {l}} + 1,1, - {k ^ {2} \ over 4} \ right ) \; M \ left ({\ mathit {l}} ^ {\ prime} +1,1, - {k ^ {2} \ mais de 4} \ right) \; {\ mathcal {J}} _ {0 } \ left (k {r_ {12} \ over r_ {B}} \ right)}

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Onde $${\ displaystyle M}é uma função hipergeométrica confluente ou função de Kummer . Na obtenção da energia de interação, usamos a integral (consulte Integrais comuns na teoria quântica de campos )

$${\ displaystyle {2 \ over n!} \ int _ {0} ^ {\ infty} {dr} \; r ^ {2n + 1} \ exp \ left (-r ^ {2} \ right) J_ {0 } \ left (kr \ right) = M \ left (n + 1,1, - {k ^ {2} \ over 4} \ right).}

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Assim como nas cobranças da função delta, o valor de $${\ displaystyle r_ {12}}no qual a energia é um mínimo local, depende apenas do momento angular total, não do momento angular das correntes individuais. Além disso, como nas cargas da função delta, a energia no mínimo aumenta à medida que a razão de momento angular varia de um. Portanto, a série

$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {1 \ over 3}, {2 \ over 5}, {3 \ over 7}, {\ mbox {etc.}}}

e

$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {2 \ over 3}, {3 \ over 5}, {4 \ over 7}, {\ mbox {etc.}}}

aparecem também no caso de cargas espalhadas pela função de onda.

A função de onda de Laughlin é um ansatz para a função de onda de quase partícula. Se o valor esperado da energia de interação é assumido sobre uma função de onda de Laughlin , essas séries também são preservadas.

Magnetostática [ editar ]

Interação de Darwin no vácuo [ editar ]

Uma partícula em movimento carregada pode gerar um campo magnético que afeta o movimento de outra partícula carregada. A versão estática desse efeito é chamada de interação de Darwin . Para calcular isso, considere as correntes elétricas no espaço gerado por uma carga em movimento

$${\ displaystyle {\ vec {J}} _ {1} \ left ({\ vec {x}} \ right) = a_ {1} {\ vec {v}} _ {1} \ delta ^ {3} \ esquerda ({\ vec {x}} - {\ vec {x}} _ {1} \ right)}

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com uma expressão comparável para $${\ displaystyle {\ vec {J}} _ {2}}.

A transformada de Fourier dessa corrente é

$${\ displaystyle {\ vec {J}} _ {1} \ left ({\ vec {k}} \ right) = a_ {1} {\ vec {v}} _ {1} \ exp \ left (i { \ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}} _ {1} \ right).}

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A corrente pode ser decomposta em uma parte transversal e longitudinal (veja decomposição de Helmholtz ).

$${\ displaystyle {\ vec {J}} _ {1} \ left ({\ vec {k}} \ right) = a_ {1} \ left [1 - {\ hat {k}} {\ hat {k} } \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {1} \ exp \ left (i {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}} _ {1} \ right) + a_ {1 } \ left [{\ hat {k}} {\ hat {k}} \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {1} \ exp \ left (i {\ vec {k}} \ cdot { \ vec {x}} _ {1} \ right).}

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O chapéu indica um vetor de unidade . O último termo desaparece porque

$${\ displaystyle {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {J}} = - k_ {0} J ^ {0} \ rightarrow 0,}

que resulta da conservação da carga. Aqui$${\ displaystyle k_ {0}} desaparece porque estamos considerando forças estáticas.

Com a corrente nesta forma, a energia da interação pode ser escrita

$${\ displaystyle E = a_ {1} a_ {2} \ int {d ^ {3} k \ over (2 \ pi) ^ {3}} \; \; D \ left (k \ right) \ mid _ { k_ {0} = 0} \; {\ vec {v}} _ {1} \ cdot \ left [1 - {\ hat {k}} {\ hat {k}} \ right] \ cdot {\ vec { v}} _ {2} \; \ exp \ left (i {\ vec {k}} \ cdot \ left (x_ {1} -x_ {2} \ right) \ right)}.

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A equação do propagador para o Proca Lagrangiano é

$${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ alpha} \ left (\ parcial ^ {2} + m ^ {2} \ right) D ^ {\ alpha \ nu} \ left (xy \ right) = \ delta _ { \ mu} ^ {\ nu} \ delta ^ {4} \ esquerda (xy \ direita).}

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A solução espacial é

$${\ displaystyle D \ esquerda (k \ direita) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; - {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + m ^ {2}} ,}

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que produz

$${\ displaystyle E = -a_ {1} a_ {2} \ int {d ^ {3} k \ over (2 \ pi) ^ {3}} \; \; {{\ vec {v}} _ {1 } \ cdot \ left [1 - {\ hat {k}} {\ hat {k}} \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {2} \ over {\ vec {k}} ^ {2 } + m ^ {2}} \; \ exp \ left (i {\ vec {k}} \ cdot \ left (x_ {1} -x_ {2} \ right) \ right)}

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que avalia como (consulte Integrais comuns na teoria quântica de campos )

$${\ displaystyle E = - {1 \ over 2} {a_ {1} a_ {2} \ over 4 \ pi r} e ^ {- mr} \ left \ {{2 \ over \ left (mr \ right) ^ {2}} \ left (e ^ {mr} -1 \ right) - {2 \ over mr} \ right \} {\ vec {v}} _ {1} \ cdot \ left [1 + {\ hat { r}} {\ hat {r}} \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {2}}

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o que reduz a

$${\ displaystyle E = - {1 \ over 2} {a_ {1} a_ {2} \ over 4 \ pi r} {\ vec {v}} _ {1} \ cdot \ left [1 + {\ hat { r}} {\ hat {r}} \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {2}}

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no limite de m pequeno. A energia da interação é negativa da interação lagrangiana. Para duas partículas iguais viajando na mesma direção, a interação é atraente, o que é o oposto da interação de Coulomb.

Darwin interacção num plasma [ editar ]

No plasma, a relação de dispersão para uma onda eletromagnética é ^[11] ($${\ displaystyle c = 1})

$${\ displaystyle k_ {0} ^ {2} = \ omega _ {p} ^ {2} + {\ vec {k}} ^ {2},}

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que implica

$${\ displaystyle D \ esquerda (k \ direita) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; - {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + \ omega _ {p} ^ {2}}.}

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Aqui $${\ displaystyle \ omega _ {p}}é a frequência do plasma . A energia de interação é, portanto,

$${\ displaystyle E = - {1 \ over 2} {a_ {1} a_ {2} \ over 4 \ pi r} {\ vec {v}} _ {1} \ cdot \ left [1 + {\ hat { r}} {\ hat {r}} \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {2} \; e ^ {- \ omega _ {p} r} \ left \ {{2 \ over \ left (\ omega _ {p} r \ right) ^ {2}} \ left (e ^ {\ omega _ {p} r} -1 \ right) - {2 \ over \ omega _ {p} r} \ right \}.}

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Interacção magnética entre os circuitos de corrente de uma forma simples de gás de plasma ou de electrões [ editar ]

A energia de interação [ editar ]

Considere um tubo de corrente girando em um campo magnético incorporado em um simples plasma ou gás elétron. A corrente, que fica no plano perpendicular ao campo magnético, é definida como

$${\ displaystyle {\ vec {J}} _ {1} \ left ({\ vec {x}} \ right) = a_ {1} v_ {1} {1 \ over 2 \ pi rL_ {B}} \; \ delta ^ {2} \ left (r-r_ {B1} \ right) \; \ left ({{\ hat {b}} \ times {\ hat {r}}} \ right)}

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Onde

$${\ displaystyle r_ {B1} = {{\ sqrt {4 \ pi}} m_ {1} v_ {1} \ sobre a_ {1} B}}

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e $${\ displaystyle {\ hat {b}}}é o vetor unitário na direção do campo magnético. Aqui$${\ displaystyle L_ {B}}indica a dimensão do material na direção do campo magnético. A corrente transversal, perpendicular ao vetor de onda , aciona a onda transversal .

A energia da interação é

$${\ displaystyle E = \ left ({a_ {1} \, a_ {2} \ over 2 \ pi L_ {B}} \ right) v_ {1} \, v_ {2} \, \ int _ {0} ^ {\ infty} {k \; dk \;} D \ esquerda (k \ direita) \ mid _ {k_ {0} = k_ {B} = 0} {\ mathcal {J}} _ {1} \ left (kr_ {B1} \ right) {\ mathcal {J}} _ {1} \ left (kr_ {B2} \ right) {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {12} \ right) }

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Onde $${\ displaystyle r_ {12}} é a distância entre os centros dos circuitos atuais e

$${\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {n} \ esquerda (x \ direita)}

é uma função de Bessel do primeiro tipo. Na obtenção da energia de interação, usamos as integrais

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {d \ varphi \ over 2 \ pi} \ exp \ left (ip \ cos \ left (\ varphi \ right) \ right) = {\ mathcal {J }} _ {0} \ esquerda (p \ direita)}

e

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {d \ varphi \ over 2 \ pi} \ cos \ left (\ varphi \ right) \ exp \ left (ip \ cos \ left (\ varphi \ right ) \ right) = i {\ mathcal {J}} _ {1} \ left (p \ right).}

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Veja Integrais comuns na teoria quântica de campos .

Uma corrente em um plasma confinado ao plano perpendicular ao campo magnético gera uma onda extraordinária . ^[12] Esta onda gera correntes de Hall que interagem e modificam o campo eletromagnético. A relação de dispersão para ondas extraordinárias é ^[13]

$${\ displaystyle -k_ {0} ^ {2} + {\ vec {k}} ^ {2} + \ omega _ {p} ^ {2} {\ left (k_ {0} ^ {2} - \ omega _ {p} ^ {2} \ right) \ over \ left (k_ {0} ^ {2} - \ omega _ {H} ^ {2} \ right)} = 0,}

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que dá para o propagador

$${\ displaystyle D \ esquerda (k \ direita) \ mid _ {k_ {0} = k_ {B} = 0} \; = \; - \ left ({1 \ over {\ vec {k}} ^ {2 } + k_ {X} ^ {2}} \ right)}

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Onde

$${\ displaystyle k_ {X} \ equiv {\ omega _ {p} ^ {2} \ over \ omega _ {H}}}

em analogia com o propagador de Darwin. Aqui, a frequência híbrida superior é dada por

$${\ displaystyle \ omega _ {H} ^ {2} = \ omega _ {p} ^ {2} + \ omega _ {c} ^ {2},}

a frequência do ciclotrão é dada por ( unidades gaussianas )

$${\ displaystyle \ omega _ {c} = {eB \ over mc},}

e a frequência plasmática ( unidades gaussianas )

$${\ displaystyle \ omega _ {p} ^ {2} = {4 \ pi ne ^ {2} \ over m}.}

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Aqui n é a densidade do elétron, e é a magnitude da carga do elétron e m é a massa do elétron.

A energia da interação se torna, por correntes iguais,

$${\ displaystyle E = - \ left ({a ^ {2} \ over 2 \ pi L_ {B}} \ right) v ^ {2} \, \ int _ {0} ^ {\ infty} {k \; dk \ over {\ vec {k}} ^ {2} + k_ {X} ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {1} ^ {2} \ left (kr_ {B} \ right) { \ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {12} \ right)}

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Limite de pequena distância entre os loops atuais [ editar ]

No limite em que a distância entre os loops de corrente é pequena,

$${\ displaystyle E = -E_ {0} \; I_ {1} \ esquerda (\ mu \ right) K_ {1} \ esquerda (\ mu \ right)}

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Onde

$${\ displaystyle E_ {0} = \ left ({a ^ {2} \ over 2 \ pi L_ {B}} \ right) v ^ {2}}

e

$${\ displaystyle \ mu = {\ omega _ {p} ^ {2} r_ {B} \ over \ omega _ {H}} = k_ {X} \; r_ {B}}

e I e K são funções de Bessel modificadas. assumimos que as duas correntes têm a mesma carga e velocidade.

Utilizamos a integral (consulte Integrais comuns na teoria quântica de campos )

$${\ displaystyle \ int _ {o} ^ {\ infty} {k \; dk \ over k ^ {2} + m ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {1} ^ {2} \ left (kr \ direita) = I_ {1} \ esquerda (mr \ direita) K_ {1} \ esquerda (mr \ direita).}

Para sr pequeno, a integral se torna

$${\ displaystyle I_ {1} \ esquerda (sr \ direita) K_ {1} \ esquerda (sr \ direita) \ rightarrow {1 \ over 2} \ left [1- {1 \ over 8} \ left (sr \ right ) ^ {2} \ right].}

Para um sr grande, a integral se torna

$${\ displaystyle I_ {1} \ esquerda (sr \ direita) K_ {1} \ esquerda (sr \ direita) \ rightarrow {1 \ over 2} \; \ left ({1 \ over mr} \ right).}

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Relação com o efeito Hall quântico [ editar ]

O número de onda da triagem pode ser gravado ( unidades gaussianas )

$${\ displaystyle \ mu = {\ omega _ {p} ^ {2} r_ {B} \ over \ omega _ {H} c} = \ left ({2e ^ {2} r_ {B} \ over L_ {B } \ hbar c} \ right) {\ nu \ over {\ sqrt {1 + {\ omega _ {p} ^ {2} \ over \ omega _ {c} ^ {2}}}}} = 2 \ alpha \ left ({r_ {B} \ over L_ {B}} \ right) \ left ({1 \ over {\ sqrt {1 + {\ omega _ {p} ^ {2} \ over \ omega _ {c} ^ {2}}}}} \ direita) \ nu}

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Onde $${\ displaystyle \ alpha}é a constante de estrutura fina e o fator de enchimento é

$${\ displaystyle \ nu = {2 \ pi N \ hbar c \ over eBA}}

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e N é o número de elétrons no material e A é a área do material perpendicular ao campo magnético. Este parâmetro é importante no efeito Hall quântico e no efeito Hall quântico fracionário . O fator de preenchimento é a fração dos estados ocupados de Landau na energia do estado fundamental.

Para casos de interesse no efeito Hall quântico, $${\ displaystyle \ mu}é pequeno. Nesse caso, a energia de interação é

$${\ displaystyle E = - {E_ {0} \ acima de 2} \ left [1- {1 \ over 8} \ mu ^ {2} \ right]}

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onde ( unidades gaussianas )

$${\ displaystyle E_ {0} = {4 \ pi} {e ^ {2} \ over L_ {B}} {v ^ {2} \ over c ^ {2}} = {8 \ pi} {e ^ { 2} \ over L_ {B}} \ left ({\ hbar \ omega _ {c} \ over mc ^ {2}} \ right)}

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é a energia de interação para o fator de enchimento zero. Definimos a energia cinética clássica como a energia quântica

$${\ displaystyle {1 \ over 2} mv ^ {2} = \ hbar \ omega _ {c}.}

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Gravitação [ editar ]

Um distúrbio gravitacional é gerado pelo tensor tensão-energia $${\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu}}; consequentemente, o Lagrangiano para o campo gravitacional é spin -2. Se as perturbações estiverem paradas, o único componente do tensor energia-estresse que persiste é o$${\ displaystyle 00}componente. Se usarmos o mesmo truque para fornecer alguma massa ao graviton e, em seguida, levar a massa a zero no final do cálculo, o propagador se tornará

$${\ displaystyle D \ esquerda (k \ direita) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; - {4 \ over 3} {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + m ^ {2}}}

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e

$${\ displaystyle E = - {4 \ over 3} {a_ {1} a_ {2} \ over 4 \ pi r} \ exp \ left (-mr \ right)},

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que é mais uma vez atraente e não repulsivo. Os coeficientes são proporcionais às massas dos distúrbios. No limite da pequena massa gravitacional, recuperamos o comportamento do quadrado inverso da lei de Newton. ^[14]

Ao contrário do caso eletrostático, no entanto, assumir o limite de pequena massa do bóson não produz o resultado correto. Um tratamento mais rigoroso gera um fator de um na energia, em vez de 4/3. ^[15]